Mal was grundsätzliches zum Verkehrsunfall aus polizeilicher Sichtweise:
a) Unfall mit Verletzten:
Polizei muss kommen und den Sachverhalt aufnehmen.
Es steht der Verdacht einer Straftat im Raum (fahrlässige Körperverletzung). Die Strafverfolgungsbehörden unterliegen dem Legalitätsprinzip (heißt: Strafverfolgungszwang), wenn der Verdacht einer Straftat gegeben ist. Somit muss die Polizei den Unfall aufnehmen, ohne wenn und aber.
b) Unfall mit Sachschaden:
Hier gibt es in verschiedenen Bundesländern unterschiedliche Regelungen. Polizei ist ja schön und vor allem Ländersache

Ich kann hier nur für Niedersachsen bzw für die Polizeiinspektion Osnabrück sprechen. Hier ist jeder Unfall polizeilich aufzunehmen, solang nicht andere Einsätze Vorrang haben.
Dann gibt es hier noch Unterschiede in der Form der Unfallaufnahme:
a) Der Unfall wird förmlich aufgenommen. Die Daten der Unfallbeteiligten werden notiert und im Vorgangsbearbeitungssystem gespeichert. Es werden Anhörungen bzw. Vernehmungen durchgeführt. Wird in der Regel gemacht, bei unklaren Unfallhergängen oder schwerst oder tödlich verletzten Unfallbeteiligten oder dem Verdacht des vorsätzlichen Herbeiführens eines Verkehrsunfalls.
b) Der Unfall wird im vereinfachten Verfahren aufgenommen. Hier wird am Unfallort ein Vordruck ausgefüllt mit einem Kurzsachverhalt, dem Unfallort und den Personalien der Unfallbeteiligten und ggf anderen Geschädigten. Wird nur bei geringer Schadenshöhe und eindeutig klarem Unfallhergang durchgeführt.
Da gerade bei letzterem nicht mehr als ein Personalienaustausch durchgeführt wird verzichten viele Großstädte hier auf die Unfallaufnahme und verweisen darauf selbst einen Personalienaustausch durchzuführen und den Unfall schnellstmöglich den Versicherungen zu melden. In der Regel sichert hier die Polizei nur die zivilrechtlichen Interessen der Unfallbeteiligten, in dem die Personalien festgestellt werden.
Da der Polizist an sich meist kein unmittelbarer Unfallzeuge ist, kann er sich den Unfallhergang auch nur anhand von Spuren (in den meisten Fällen die Schäden an den Fahrzeugen) und den Aussagen der Unfallbeteiligten zusammenreimen, ob dieser Unfallhergang tatsächlich so war, wissen meist nicht mal die Unfallbeteiligten
Ich würde immer auf eine polizeiliche Aufnahme drängen. Dann hat man erstmal was offizielles mit den richtigen Daten in der Hand und auf jeden Fall schon mal zwei Leute mehr, die die Summe der Schäden gesehen haben, ob das hilft, wenn der andere Unfallbeteiligte plötzlich seine Meinung über den Unfallhergang ändert sei mal dahingestellt
Allerdings sollte man sich davon freimachen, auf eine genaue Aussage der Polizisten vor Gericht vertrauen zu können. In der Regel nimmt man mehrere Unfälle jeden Tag auf und bis zum Gerichtsverfahren dauert es meist über ein Jahr. Da kann man sich an Details nicht erinnern und die Anwälte der Versicherungen nutzen dies schamlos aus.