Das verstehe ich mathematisch nicht. "Exponentiell" bedeutet doch nicht zwangsläufig, die Werte verdoppeln sich von Woche zu Woche. Auch ein geringeres Wachstum kann exponentiellen Charakter haben.
Entscheidend für ein exponentielles Wachstum ist nach meinem Verständnis, dass die Zu- oder Abnahme proportional zur Menge der aktuell infizierten Menschen ist. Das bedeutet, die Zunahme ergibt sich durch Multiplikation der Infizierten aus der Vorwoche mit einem Faktor. Bei einem linearen Wachstum ergibt sich die Zunahme durch Addition.
Falls das jemand aus dem Stegreif klarstellen kann, wäre ich ein interessierter Leser. Falls es hingegen Mühe macht: lasst es sein, es ist nicht soo wichtig.
Wenn Du z.B. hier https://interaktiv.tagesspiegel.de/l...and-landkreise
das Diagramm "neue Fälle" nimmst, ist die Beobachtung eines linearen Wachstums in letzter Zeit im Groben richtig.
An den 3 letzten Spitzen haben wir Pi mal Daumen wöchentlich einen Anstieg von etwa 5000 Fällen.
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Das verstehe ich mathematisch nicht. "Exponentiell" bedeutet doch nicht zwangsläufig, die Werte verdoppeln sich von Woche zu Woche. Auch ein geringeres Wachstum kann exponentiellen Charakter haben.
Entscheidend für ein exponentielles Wachstum ist nach meinem Verständnis, dass die Zu- oder Abnahme proportional zur Menge der aktuell infizierten Menschen ist. Das bedeutet, die Zunahme ergibt sich durch Multiplikation der Infizierten aus der Vorwoche mit einem Faktor. Bei einem linearen Wachstum ergibt sich die Zunahme durch Addition.
Falls das jemand aus dem Stegreif klarstellen kann, wäre ich ein interessierter Leser. Falls es hingegen Mühe macht: lasst es sein, es ist nicht soo wichtig.
Arne - ich gehe davon aus, dass Du Dich mindestens so gut wie ich mit den exponentiellen Funktionen, wie sie in der Mathematik beschrieben und charakterisiert werden, auskennst wie ich.
Natürliche Vorgänge sind glaube ich selten bis (fast) nie ideal.
Falls dem so sein sollte, macht gerade das es so schwer sie zu verstehen, zu beschreiben (bzw. zu modellieren) und sie zu beeinflussen.
In der Bewegungslehre der Physik haben wir als erste Bewegungsform gelernt, was eine gleichförmige Bewegung ist.
Dann hat man versucht uns beizubringen, was eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung ist.
Will man reale Bewegungen mit diesem Wissenshintergrund beschreiben, dürfte man sehr oft völlig scheitern.
Auf beide idealisierten Bewegungsarten trifft man in der Realität (so gut wie) gar nicht.
Die Vermehrung von Bakterien oder Viren lässt sich mit exponentiellen Funktionen idealisiert (!) wunderbar beschreiben.
In Realität laufen die Prozesse aber anders - bzw. vielleicht wäre es auch ganz angemessen zu sagen gestört - ab.
So können z.B. nicht alle Viren oder Bakterien vermehrt werden, weil eben Fehler auftreten beim "Kopieren" etwa, die das verhindern.
"Reines, ungestörtes exponentielles Wachstum" läuft für die meisten Menschen so ab, dass sie das schon atemberaubend empfinde können.
Es hat etwas lawinenartiges.
Ich habe schon öfter einen Satz gehört, den ich mir gemerkt habe, weil er mich nachdenklich gemacht hat:
Nichts in der Natur kann ewig wachsen!
Das verstehe ich mathematisch nicht. "Exponentiell" bedeutet doch nicht zwangsläufig, die Werte verdoppeln sich von Woche zu Woche. Auch ein geringeres Wachstum kann exponentiellen Charakter haben.
Entscheidend für ein exponentielles Wachstum ist nach meinem Verständnis, dass die Zu- oder Abnahme proportional zur Menge der aktuell infizierten Menschen ist. Das bedeutet, die Zunahme ergibt sich durch Multiplikation der Infizierten aus der Vorwoche mit einem Faktor. Bei einem linearen Wachstum ergibt sich die Zunahme durch Addition.
Falls das jemand aus dem Stegreif klarstellen kann, wäre ich ein interessierter Leser. Falls es hingegen Mühe macht: lasst es sein, es ist nicht soo wichtig.
Für mich ist exponentielles Wachstum, wenn die Steigung eines Graphen ansteigt und lineares Wachstum, wenn ein Graph eine Gerade darstellt.
Dass es im mathematischen Sinne auch Graphen gibt, die ein negativen exponentiellen Faktor haben,oder einen exponentiellen Faktor kleiner 1 und deren Kurve ganz anders aussieht, als man sich das bei Nutzung des Begriffs Exponentialfunktion vorstellt, ist klar, aber das ist sicher nicht der Sprachgebrauch, in dem man von exponentiellen Wachstum in dieser Pandemie redet, so wie es Spahn gestern getan hat.
Das ist Stoff der 9. Klasse an Gymnasien hier in BaWü. Gefühlt schon 100.000x erklärt ;-) Durchschnittschülerhaft verständlich erklärt:
1. Beim exponentiellen Wachstum ist die Änderung, die hinzukommt, prozentual gleich.
2. Beim linearen Wachstum kommt immer ein gleichbleibender Wert hinzu.
Bsp:
Man hat 1.000€ auf dem Konto und erhält pro Jahr 5% Zinsen hinzu.
Man hat 1000€ auf dem Konto und bekommt pro Monat 50€ hinzu.
Das passende Sprüchlein: eine Bestand b wächst exponentiell, wenn b in der Form b(t)=c*a^t beschrieben werden kann.
(c=Anfangswert, a=Wachstumsfaktor; a>1: Bestand nimmt zu, a<1: nimmt ab)
Das ist Stoff der 9. Klasse an Gymnasien hier in BaWü. Gefühlt schon 100.000x erklärt ;-) Durchschnittschülerhaft verständlich erklärt:
1. Beim exponentiellen Wachstum ist die Änderung, die hinzukommt, prozentual gleich.
2. Beim linearen Wachstum kommt immer ein gleichbleibender Wert hinzu.
Bsp:
Man hat 1.000€ auf dem Konto und erhält pro Jahr 5% Zinsen hinzu.
Man hat 1000€ auf dem Konto und bekommt pro Monat 50€ hinzu.
Das Sprüchlein: eine Bestand b wächst exponentiell, wenn b in der Form b(t)=c*a^t beschrieben werden kann.
(c=Anfangswert, a=Wachstumsfaktor; a>1: Bestand nimmt zu, a<1: nimmt ab)
Dem Sportler kann man das Konzept der Differenzialrechnung viel einfacher erklären:
Weg -> abgeleitet davon Geschwindigkeit -> abgeleitet davon Beschleunigung
D.h. wenn der Weg linear zunimmt, hat man eine konstante Geschwindigkeit und keine Beschleunigung.
Auf die Infektionen bezogen wäre das also:
Infektionszahlen (Weg) -> abgeleitet davon R (Geschwindigkeit) -> abgeleitet davon Wachstum (Beschleunigung)
Solange der Wachstum nicht 0 ist, haben wir exponentielle Steigerungen bei den Zahlen.
"Exponentiell" bedeutet doch nicht zwangsläufig, die Werte verdoppeln sich von Woche zu Woche. Auch ein geringeres Wachstum kann exponentiellen Charakter haben.
Ja.
Zitat:
Zitat von Klugschnacker
Entscheidend für ein exponentielles Wachstum ist nach meinem Verständnis, dass die Zu- oder Abnahme proportional zur Menge der aktuell infizierten Menschen ist.
Genauer: die Rate der Zu- oder Abnahme ist proportional zur Menge der aktuell infizierten Menschen ist
Zitat:
Zitat von Klugschnacker
Das bedeutet, die Zunahme ergibt sich durch Multiplikation der Infizierten aus der Vorwoche mit einem Faktor. Bei einem linearen Wachstum ergibt sich die Zunahme durch Addition.
Linear meint halt, dass f'(x)=konstant gilt. Alle f(x)=mx+t also die Menge der Geraden, erfüllen das. m kann (siehe oben) natürlich auch was anderes als zwei sein. Und freilich: Eine lineare Entwicklung kann man durch Addition eines konstanten "Änderungswertes" erzeugen.
Exponentiell meint dagegen f'(x)=k*f(x). Die e-Funktion inkl. Streckungen und Dehnungen ( f(x)=n*e^(k*x) ) erfüllt das.
Das mit dem Multiplikationsfaktor ist mir im Moment nicht gegeben zu sehen. Denn: Wir haben im ersten Semester das Wachstum einer Karnickelpopulation simuliert. Dafür haben wir "das Wachstum der Natur" verwendet: Die Fibonacci-Folge. Die wächst auch exponentiell. Die ist f(x)=f(x-1)+f(x-2) und f(1)=1 und f(2)=1. Die Multiplikation mit einen Faktor sehe ich hier im Moment gerade nicht. Aus der Berechenbarkeitstheorie der theoretischen Informatik kenn man noch die extrem(!!) schnell wachsenden Ackermannfunktionen, hier sehe ich im Moment der morgendlichen "Dämpfung" auch keine Multiplikation.
Dem Sportler kann man das Konzept der Differenzialrechnung viel einfacher erklären:
Weg -> abgeleitet davon Geschwindigkeit -> abgeleitet davon Beschleunigung
D.h. wenn der Weg linear zunimmt, hat man eine konstante Geschwindigkeit und keine Beschleunigung.
Auf die Infektionen bezogen wäre das also:
Infektionszahlen (Weg) -> abgeleitet davon R (Geschwindigkeit) -> abgeleitet davon Wachstum (Beschleunigung)
Solange der Wachstum nicht 0 ist, haben wir exponentielle Steigerungen bei den Zahlen.
Ja, das ist richtig. Die Differentialrechnung kommt aber erst in der 10. Gute Schulen machen in der 10. parallel in Physik solche Sachen, die du erwähnst. Dann erkennt der Schüler im Idealfall im Physikunterricht den Anwendungsfall der Differentialrechnung.
Ich finde das nicht schlimm, aber darum sind wir hier halt für dieses Thema keine Experten sondern interessierte Laien.
Edit: Um die Ausgangsfrage von Arne zu beantworten - bei idealen exponentiellen Prozessen ist die Verdopplungszeit/Halbierungszeit ("Halbwertszeit") tatsächlich konstant. Diese Verdopplungszeit muss aber natürlich nicht unbedingt genau eine Woche sein.
Aber ich gehe davon aus, dass das bei Dir nur eine rhetorische Frage war.
Edit2: Ich wurde auf eine Fehler in der Antwort bzgl. Verdopplungszeit hingewiesen. Ich habe diese Fehler selbst noch nicht gefunden, bin noch auch der Suche...
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