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So, was soll's ...

Hier mal mein "Aufsatz" vom Dienstag :

Ein jeder Athlet öffnet zuerst die Schublade, deren Nr seiner Startnummer entspricht.
Befindet sich in dieser Schublade eine andere Startnummer als seine eigene, so öffnet er als nächstes die Schublade, deren Nr der soeben vorgefundenen Startnummer entspricht. So verfährt er weiter bis er 50 Schubladen geöffnet hat, oder seine Startnummer gefunden hat.

Z.B. öffnet der Athlet mit der Startnummer 23 zuerst die Schublade 23, findet dort die 42, öffnet als nächstes die Schublade 42, findet dort die 17, öffnet die Schublade 17 ... usw.

Die Wahrscheinlichkeit für jeden einzelnen Athleten, seine Startnummer zu finden, liegt dabei weiterhin bei 50%, was auf den ersten Blick wieder zur oben angeführten Sandkornkatastrophe führen könnte ...

Jedoch erhöhen sich die abhängigen Wahrscheinlichkeiten signifikant von Athlet zu Athlet, so daß unter der Voraussetzung, daß alle vorherigen Athleten ihre Startnummer nach dieser Strategie gefunden haben, z.B. ab dem 51. Athleten ein jeder Athlet seine Startnummer mit Sicherheit findet.

Findet ein Athlet seine Startnummer nicht, ist der WK bekanntlich gelaufen, so daß man diese Fälle verwerfen kann, und lediglich solche mit Erfülluing obengenannter Voraussetzung betrachtet.

Mit welcher Wahrscheinlichkeit findet ein Athlet seine Nummer ?

Nun, für den ersten Atheten ist dies trivial.
Er öffnet die Hälfte der Schubladen, und wird zu 50% in einer dieser seine Startnummer finden.

Für die folgenden Athleten gelten diese 50% im Prinzip auch, jedoch kommt noch eine weitere "Chance" dazu :

Findet ein Athet auf seinem Weg durch die Schubladen eine Startnummer, die kleiner ist als seine eigene, so ist laut obengenannter Voraussetzung davon auszugehen, daß der zugehörige Athlet diese auf seinem Weg irgendwann gefunden hat. Dies bedeutet zwangsläufig, daß auch unser aktuell suchender Athlet seine Startnummer finden wird !

Warum ist das so ?

Besagter Athlet mit der kleineren Startnummer hat zuletzt den identischen Weg zurückgelegt wie unser Athlet ! (Bei Befolgen der Strategie gelangt man zu jeder Schublade nur von einer einzigen anderen, bzw als Startpunkt durch seine eigene Nummer). Ein "Quereinstieg" ist ausgeschlossen, d.h. er muß auch den gesamten Weg unseres Athleten zurückgelegt haben. D.h. wiederum, daß sein eigener Weg ihn irgendwann zum Startpunkt unseres Atheten führte, sprich er fand auf seinem Weg die Startnummer unseres Athleten, die ihn zur ersten von unserem Athleten geöffneten Schublade führte. Da unser Ahtlet nun gerade auf dessen Startnummer gestoßen ist, wird er als nächstes zum Startpunkt jenes Athleten geführt und sich auf dessen Weg begeben. Der Kreis schließt sich und er wird zu seine eigenen Startnummer gelangen.

Warum sind diese Kreise maximal 50 Schubladen lang ?

Laut Voraussetzung hat der Athlet mit der kleineren Nummer seine Startnummer gefunden. Der Weg von seinem Startpunkt bis zu seiner Nummer kann also maximal 50 Schubladen lang sein. Nach dieser schließt sich der Kreis. Egal an welcher Stelle man einsteigt, nach 50 Schubladen hat man den Kreis komplettiert.

Ein Athlet findet also seine Startnummer immer dann, wenn er auf seinem Weg auf diese stößt, oder auch, wenn er auf seinem Weg auif eine kleinere stößt.

Wie hoch ist nun diese Wahrscheinlichkeit ?

Nun es ist die Gegenwahrscheinlichkeit dazu, daß seine und sämtliche kleineren Startnummern außerhalb seine 50schubladigen Weges liegen.

Für den n-ten Athleten :

P(n) = 1 - (50! / (50-n)!) / (100! / (100-n)!)

Die Wahrscheinlichkeit, daß das Rennen stattfindet (alle Athleten finden ihre Startnummer) ergibt sich aus dem Produkt der Einzelwahrscheinlichkeiten P(n), n= 1-100

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Manches würde ich inzwischen anders "erklären" und, wie gehabt, zur Berechnung eventuell auch nochmal anders ansetzen.

Nichtsdestoweniger, da ich sofort beweisen könnte, daß das System zu einer Wahrscheinlichkeit von über 1% (exakt, nicht "~", wie oben bemerkt), liege ich zumindest mit diesem nicht so falsch ...

Eine Verbesserung von etwa 1 : 1 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 auf über 1 : 100 kann ja nun keine komplette Schande sein ...