Das System gefällt mir. Die Berechnung der Wahrscheinlichkeit muß nochmal überdacht oder gegebenenfalls anders angesetzt werden.
Auch wenn "mein System" wohl definitv einen erheblichen Vorteil gegenüber dem planlosen Schubladenöffnen bietet, würde ich mich doch wohler fühlen, zum Beweis auch eine belastbare Berechnung der Wahrscheinlichkeit vorlegen zu können, bevor ich mich hier zum Affen mache ...
Ich hätte noch den ein oder anderen Ansatz zur Berechnung ... die sich dann alle aber eher aufwendig gestalteten, wofür gerade keine Zeit ist.
Mein Ansatz war eher schlicht, vernachlässigt aber womöglich (?) einen Aspekt, zumal er, wenn ich recht überschlagen hatte, auch nur auf knappe 30% kommt ...
Das "mein System" zu mindestens ~1% WK-Wahrscheinlichkeit führt, könnte ich sofort beweisen ...
Ich hab mir die Wikipedia Beschreibung durch gelesen und glaube ich verstehe zu 0% warum das besser funktioniert als zufällig zu ziehen. Schnodo erkläre bitte mal in einfachen Worten
ACHTUNG LÖSUNG(shinweise):
Sehr stark vereinfacht: Wenn du bei jeder enthaltenen Zahl danach die passende Schublade öffnest muss es eine Schleife geben wo deine Startnummer drin ist. Diese Schleifen können maximal 100 Elemente lang sein. Meistens ist es aber weniger. Es kann immer maximal eine Schleife geben die >50 ist, da alle anderen ja kürzer sein müssen. Deswegen reicht es in dem Fall die Wahrscheinlichkeit der Schleifenverteilung auszurechnen, die Wahrscheinlichkeit der einzigen Triathleten spielt keine Rolle. Wenn das Problem keine Schleife größer 50 enthält finden definitiv alle ihre Nummer wenn sie dem Schema folgen.
Super-für mehr empfehle ich auch das Veritassium Video-pimpf
Ich hätte noch den ein oder anderen Ansatz zur Berechnung ... die sich dann alle aber eher aufwendig gestalteten, wofür gerade keine Zeit ist.
Mein Ansatz war eher schlicht, vernachlässigt aber womöglich (?) einen Aspekt, zumal er, wenn ich recht überschlagen hatte, auch nur auf knappe 30% kommt ...
Die "offizielle" Lösung garantiert eine Wahrscheinlichkeit von mindestens 1 - ln(2), auch bei ganz vielen Triathleten und Schubladen. Natürlich kann es sein, dass bei ganz vielen Sportlern alle den Wettkampf verpassen, weil sie mit dem Öffnen der Schubladen nicht rechtzeitig fertig werden.
Ein jeder Athlet öffnet zuerst die Schublade, deren Nr seiner Startnummer entspricht.
Befindet sich in dieser Schublade eine andere Startnummer als seine eigene, so öffnet er als nächstes die Schublade, deren Nr der soeben vorgefundenen Startnummer entspricht. So verfährt er weiter bis er 50 Schubladen geöffnet hat, oder seine Startnummer gefunden hat.
Z.B. öffnet der Athlet mit der Startnummer 23 zuerst die Schublade 23, findet dort die 42, öffnet als nächstes die Schublade 42, findet dort die 17, öffnet die Schublade 17 ... usw.
Die Wahrscheinlichkeit für jeden einzelnen Athleten, seine Startnummer zu finden, liegt dabei weiterhin bei 50%, was auf den ersten Blick wieder zur oben angeführten Sandkornkatastrophe führen könnte ...
Jedoch erhöhen sich die abhängigen Wahrscheinlichkeiten signifikant von Athlet zu Athlet, so daß unter der Voraussetzung, daß alle vorherigen Athleten ihre Startnummer nach dieser Strategie gefunden haben, z.B. ab dem 51. Athleten ein jeder Athlet seine Startnummer mit Sicherheit findet.
Findet ein Athlet seine Startnummer nicht, ist der WK bekanntlich gelaufen, so daß man diese Fälle verwerfen kann, und lediglich solche mit Erfülluing obengenannter Voraussetzung betrachtet.
Mit welcher Wahrscheinlichkeit findet ein Athlet seine Nummer ?
Nun, für den ersten Atheten ist dies trivial.
Er öffnet die Hälfte der Schubladen, und wird zu 50% in einer dieser seine Startnummer finden.
Für die folgenden Athleten gelten diese 50% im Prinzip auch, jedoch kommt noch eine weitere "Chance" dazu :
Findet ein Athet auf seinem Weg durch die Schubladen eine Startnummer, die kleiner ist als seine eigene, so ist laut obengenannter Voraussetzung davon auszugehen, daß der zugehörige Athlet diese auf seinem Weg irgendwann gefunden hat. Dies bedeutet zwangsläufig, daß auch unser aktuell suchender Athlet seine Startnummer finden wird !
Warum ist das so ?
Besagter Athlet mit der kleineren Startnummer hat zuletzt den identischen Weg zurückgelegt wie unser Athlet ! (Bei Befolgen der Strategie gelangt man zu jeder Schublade nur von einer einzigen anderen, bzw als Startpunkt durch seine eigene Nummer). Ein "Quereinstieg" ist ausgeschlossen, d.h. er muß auch den gesamten Weg unseres Athleten zurückgelegt haben. D.h. wiederum, daß sein eigener Weg ihn irgendwann zum Startpunkt unseres Atheten führte, sprich er fand auf seinem Weg die Startnummer unseres Athleten, die ihn zur ersten von unserem Athleten geöffneten Schublade führte. Da unser Ahtlet nun gerade auf dessen Startnummer gestoßen ist, wird er als nächstes zum Startpunkt jenes Athleten geführt und sich auf dessen Weg begeben. Der Kreis schließt sich und er wird zu seine eigenen Startnummer gelangen.
Warum sind diese Kreise maximal 50 Schubladen lang ?
Laut Voraussetzung hat der Athlet mit der kleineren Nummer seine Startnummer gefunden. Der Weg von seinem Startpunkt bis zu seiner Nummer kann also maximal 50 Schubladen lang sein. Nach dieser schließt sich der Kreis. Egal an welcher Stelle man einsteigt, nach 50 Schubladen hat man den Kreis komplettiert.
Ein Athlet findet also seine Startnummer immer dann, wenn er auf seinem Weg auf diese stößt, oder auch, wenn er auf seinem Weg auif eine kleinere stößt.
Wie hoch ist nun diese Wahrscheinlichkeit ?
Nun es ist die Gegenwahrscheinlichkeit dazu, daß seine und sämtliche kleineren Startnummern außerhalb seine 50schubladigen Weges liegen.
Für den n-ten Athleten :
P(n) = 1 - (50! / (50-n)!) / (100! / (100-n)!)
Die Wahrscheinlichkeit, daß das Rennen stattfindet (alle Athleten finden ihre Startnummer) ergibt sich aus dem Produkt der Einzelwahrscheinlichkeiten P(n), n= 1-100
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Manches würde ich inzwischen anders "erklären" und, wie gehabt, zur Berechnung eventuell auch nochmal anders ansetzen.
Nichtsdestoweniger, da ich sofort beweisen könnte, daß das System zu einer Wahrscheinlichkeit von über 1% (exakt, nicht "~", wie oben bemerkt), liege ich zumindest mit diesem nicht so falsch ...
Eine Verbesserung von etwa 1 : 1 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 auf über 1 : 100 kann ja nun keine komplette Schande sein ...
Die "offizielle" Lösung garantiert eine Wahrscheinlichkeit von mindestens 1 - ln(2), auch bei ganz vielen Triathleten und Schubladen.
Der ln macht mich etwas fertig ... ... nachdem ich eine erste Formel zur Berechnung hatte, hatte ich sie nur schnell iterativ von von "calc" (libre office excel pendant) berechnen lassen ... nicht selbst weiter umgeformt oder nach dem ln Ausschaz gehalten ... der Wert lag dann auch etwas darunter ...
Ein weiterer Ansatz zur Berechnung wäre :
... die Wahrscheinlichkeit zu berechnen, daß kein "Kreis" länger als 50 Schubladen auftritt.
-> egal in welchen Kreis ein Athlet einsteigt, nach spätestens 50 Schubladen hat er seine Nummer.
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Die Wahrscheinlichkeit, daß der erste Athlet seine Nuimmer in der 50. Schublade findet, beträgt 1%. Der erste Kreis ist damit 50 Schubladen lang. Für die restlichen 50 Schubladen kann der größte Kreis auch nur maximal 50 Schubladen lang sein. Somit finden alle Athleten ihre Nummer.
Unabhängig von der Teilnehmerzahl ist "mein System" im Übrigen auch ... solange ein jeder die Hälfte der Schubladen aufmachen darf ...
Und jetzt laß mich in Ruhe, ich habe zu tun ... !
Okay, okay...
Eigentlich hast Du alles richtig gemacht, aber ich habe den Eindruck, dass Du Dir mehr Mühe machst als nötig. Es spielt keine Rolle, ob der erste oder der letzte Athlet sucht, wenn sie nach dem von Dir beschriebenen Plan vorgehen. Sobald der Veranstalter die Nummern verteilt hat, also bevor der erste Sportler überhaupt die Klinke in der Hand hat, ist klar, ob sie antreten dürfen oder nicht. Zumindest habe ich es so verstanden.
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