Das Ding hat mir keine Ruhe gelassen. ;)

In der stark verwandten Aufgabe mit der Nummer 501024 kommen sie nicht ohne Formeln aus, der Ansatz ist aber dennoch interessant (Links zu PDFs):
50. Mathematik-Olympiade / 2. Stufe (Regionalrunde) / Klasse 10 /Aufgaben
50. Mathematik-Olympiade / 2. Stufe (Regionalrunde) / Klasse 10 / Lösungen

Ich habe zum Privatvergnügen mal alle Rechtecks-Umfänge, die möglich sind, in einer Tabelle aufgeführt und die Lösungen markiert.

Matthias, vielen Dank Dir :Blumen:

... liebster schnodo, Du bist genial :Lachanfall:

vielen Dank für diese sehr interessanten Infos ... die ich mir hoffentlich heute abend mal in Ruhe anschauen werde :bussi: ... denn ich gestehe, auch ich habe mit dieser besch*** Aufgabe in den letzten Tagen mehr Zeit als nötig verbracht ... man erinnere sich, 3./4. Klasse :o

Offensichtlich sollen nur ganze Quadrate verwendet werden, d.h. a, b, c und d sollen ganzzahlig sein. Außerdem sollen a und c <= 20 sowie b und d <= 25 sein (oder umgekehrt).

Mathematisch kann man da folgendermaßen ansetzen:
Aus der ersten Formel folgt
a = c + d - b
Das setzt man in die zweite Formel ein (die natürlich a*b = 2*c*d lauten muss):
b*c + b*d - b² = 2*c*d
Das löst man nach c auf:
c = (b² - b*d)/(b - 2*d)

Nun muss ja c ganzzahlig sein. Das erreicht man am einfachsten (aber nicht ausschließlich) dadurch, dass der Nenner (b - 2*d) gleich 1 ist, was wiederum am offensichtlichsten dann der Fall ist, wenn b=3 und d=1 ist. Dann folgt c = 6 und a = 4 - diese Lösung hatten wir ja schon.

Eine weitere einfache Lösung ist b=5 und d=2 mit c=15 und a=12. Die nächste Variante mit Nenner gleich 1 geht schon nicht mehr: b=7 und d=3 führt zu c=28 und a=24, was zu groß ist.

c wird auch ganzzahlig, wenn der Nenner 2 und der Zähler gerade ist. Das gilt z.B. für b=4 und d=1, das ergibt mit c=6 und a=3 aber wieder die erste Lösung (mit vertauschten Zahlen). Eine weitere Lösung ergibt sich hingegen mit b=6 und d=2, dann ist c=12 und a=8. Für b=8 und d=3 werden a und c schon wieder zu groß.

Mit etwas Rumspielen findet man auch noch a=12, b=9, c=18, d=3 und a=16, b=12, c=24, d=4. Das war's dann aber imho.

Insgesamt sind das also fünf Lösungen (Seitenvertauschungen nicht mitgerechnet), wobei allerdings vier (alle bis auf die zweitgenannte) ähnlich sind - die drei letztgenannten sind lediglich Vervielfachungen der ersten Lösung (so hätte man die auch finden können).

Gruß Matthias

Hast Du a=15, b=8, c=20, d=3 übersehen?

Starker Tobak für die 3./4. Klasse :Maso: Da waren wir damals gefühlt noch mit dem Ausmalen der Kästchen beschäftigt :Cheese:

15*8 = 120 = 2*20*3

aber

15*2+8*2=48 und 20*2+3*2=46

Vielleicht wird bald in Mathe genauso bewertet wie in der Rechtschreibung, dann geht dass vielleicht als Rundungsfehler durch :Cheese:

M.

*hüstel*

15*2 + 8*2 = 30 + 16 = ? :Cheese:

Ufff, ja. Dem kann ich schon nur noch mit Mühe folgen :Gruebeln:

So ähnliche Gedanken hatte ich auch, hätte es aber nicht treffender formulieren können :Huhu:

Upssss, was hatte ich denn da für einen Knoten im Hirn :Traurig:

Ich geh dann mal wieder Kästchen ausmalen :Huhu: :Lachanfall:

M.