Bevor man solche Aussagen trifft, sollte man erstmal beweisen, dass man die notwendige Expertise besitzt, um sich sowas zu erlauben. Andernfalls nennt man das umgangssprachlich einfach nur "Eigentor".

Das war doch gar nicht die Frage :confused: Die Frage war doch ob eine Verdoppelung ("mal 2") in konstanter Zeitspanne ("Woche zu Woche") zwingende Voraussetzung dafür ist, ein Wachstum als exponentiell zu charakterisieren. Das ist aber nicht der Fall und da hat Arne schon recht. :Blumen:

Mit der e-Funktion hat das zunächst nichts zu tun. Man drückt exponentielles Wachstum gern mit ihr aus, weil man mit ihr schön umgehen kann. Das "e" kommt von Euler und nicht von "exponentiell" (ich gehe davon aus, du weißt das, wollte es aber nicht unkommentiert stehen lassen ;-)
(wo ist eigentlich Frau Prof. Dr. Lucy? ;-)

Aber genau das folgt ja!

Exponentielles Wachstum => konstante Verdopplungs-/Halbierungszeit

https://de.wikipedia.org/wiki/Exponentielles_Wachstum

Durchlesen und verstehen.

Nein, das ist ein Spezialfall. Der prozentuale Anteil ist konstant, aber beliebig
Der Pfeil "daraus folgt" ist nicht korrekt. In der anderen Richtung wäre er richtig.

Für die Nichtmathematiker unter uns *hüstel* bitte wieder zurück zum Thema.:Blumen:

Hä? Du wirst doch nicht ernsthaft behaupten wollen, dass die f(x)=n*e^(k*x) keine Lösungsmenge von f'(x)=k*f(x) ist?

Ach sag bloß - Scherzkeks :Cheese:

Hast Du dafür ein Beispiel?

f(t)=ab^t1

Wenn 2*f(t1)=f(t2), dann

2ab^t1=ab^t2
=> 2=b^t2/b^t1=b^(t2-t1)

Für eine Verdopplung muss t2-t1 also konstant sein.

Ja, sie ist eine Lösung.
Wahrscheinlich hatte ich dich missverstanden, i.d.S. dass man exponentielles Wachstum grundsätzlich mit der e-Funktion ausdrückt.
(ich höre jetzt aber auf, ist ziemlich offtopic ;-)

Wie ich es verstanden habe, hat sie es im Moment schon schwer genug ... vielleicht kann man ihr "das hier" ersparen ... :Lachen2:

Mein Punkt wäre so oder so richtig.
Hier mangelt es in der Breite schon an den Grundlagen, bevor wir uns also an den Koryphäen abarbeiten...

Unendlich viele:
man berechnet den Quotienten aus dem Bestand zum Zeitpunkt t und dem Bestand zum Zeitpunkt t-1. Ist dieser Quotient konstant, hat man exponentielles Wachstum.
(beim linearen ist die Differenz konstant)

Lass uns die Diskussion privat weiterführen.

Na.. war nur logischerweise n Beispiel für eine Lösungsmenge.

@FinP: keko hat recht und Arne auch: Verdoppelung in dem Sinne ist hinreichend aber nicht notwendig. :Blumen:

Das prüfe ich gerade ergebnisoffen. :)

Alles klar Herr Oberlehrer. Dann brauche ich deine Kommentare ja nicht mehr zu lesen :)

Ich finde das sowieso brutal - vor 10:00 Uhr alten Kram aufwärmen. Und alles immer so genau. Ich war an der Uni schon nur in Mathevorlesungen ab 10:00 - selten in denen um 8:00. :Lachen2:

Bevor jetzt wieder irgendeiner Zündler (aka #keko ;) ) sagt : Das merkt man! Erstell ich schon mal ne Liste mit Ausreden für den Fall der Fälle, denn bei dem was ich zu Ackermann gesagt habe beschleichen mich plötzlich Zweifel, denn eigentlich wächst die ja sogar schneller als exponentiell :Gruebeln: :Cheese:

:Prost: :Blumen:

Völlig richtig.

Die Verwirrung entstand wohl daraus, daß diese Verdopplungszeit nicht zwangsläufig eine Woche betragen muß.

Sowie :
Bei Veränderung der Basis (in unserem Fall "R") ändert sich in der Folge auch die Verdopplungszeit.
Bliebe die Basis konstant, wie in jeder "fest definierten" Exponentialfunktion, so bliebe auch die Verdopplungszeit (wahlweise Halbwertszeit) konstant. Im aktuellen Geschehen bleibt sie das plausiblerweise nicht.

Da man hier eh nur versucht Wirklichkeit in theoretischen mathematischen Formeln abzubilden, kann die tatsächliche Entwicklung nie einer klassischen Formel entsprechen.



Eigentlich ist exponetielles Wachstum bis zu einem bestimmten Punkt "besser" als lineares Wachstum. Natürlich "überholt" die Entwicklung zu einem Zeitpunkt x der exponentiellen Funktion die linerare, aber bis dahin hat man politische Zeit zu reagieren.

Natürlich nur wenn man eine funktionierende Kristallkugel hat und die vorstehende Entwicklung kennt. :)


Was ich damit sagen will: Modell können die wirkliche Entwicklung lediglich veranschaulichen aber nie tatsächlich abbilden.

Ich überprüfe das derzeit, habe aber wohl noch einen Knoten im Hirn.

Edit: Immerhin bin ich in guter Gesellschaft (Argumentum ad verecundiam):
klick S. 3 von 15

Mit dem Knoten oder womit ... ? ;)

Das Schöne an der Mathematik ist doch, daß sie nicht an Titel gebunden ist ... ;)

Die Verdopplungszeit t2 einer Funktion f(t) = b*a^(k*t) berechnet sich einfacherweise :

t2 = 1/k * ln(2) / ln(a)

Anscheinend bist Du auch mit im Knoten-Klub.

Ich komme nicht hinterher mit lesen, muss nebenbei auch noch arbeiten :Lachen2:

Hab jetzt grob überflogen und manches was hier stand war falsch, manches korrekt und manches zumindest so halb korrekt.

Das stimmt ;)

Schlussendlich ist das für den Ottonormalmenschen und Forenleser egal, wie man jetzt exponentielles Wachstum exakt präzise beschreibt. Ich wäre schon zufrieden wenn jeder grob weiß, was das bedeutet und ja, auch 1.1^t ist exponentielles Wachstum. D.h. also zu sagen, dass etwas nicht exponentiell wächst, weil es sich nicht verdoppelt, ist natürlich falsch. Ich kann in Woche x immer noch exponentielles Wachstum haben, aber eben halt mit einem anderen Faktor als in Woche x-1.
Dass man den Verlauf einer Pandemie (oder grundsätzlich irgendeinen in der Natur beobachteten Verlauf) nicht exakt mit einer flatten Funktion beschreiben kann, ist ja klar. Man kann es sich also vielmehr als "Aneinanderkleben" von ganz vielen kleinen Teilen vorstellen, heuristisch gesprochen.

"All models are wrong, but some are useful." -George Box

Schlusswort?

Liebe Frau Professor, alles was exponentiell wächst, verdoppelt sich, wie Sie wissen, in konstanten Zeitabständen ... :Blumen:

(Natürlich nicht notwendigerweise in einer Woche)

f(t) = 1.1^t verdoppelt sich alle t = 7.27...
Ändert sich die Basis schneller als die Verdopplungszeit, hat es natürlich weniger Sinn, noch von letzterer zu sprechen ...

Wie heißt es dann, wenn die Zeitabstände der Vedopplung immer kürzer werden?
Superexponentielles Wachstum? Hyper-?

Das meinte ich damit (ich muss mich wohl in diesem Mathematiker-durchsetzten Forum an eine präzisere Schreibweise gewöhnen, ich bin mehr auf dem "erklär es einfach"- Trip :Lachen2: )
Ja, klar verdoppelt sich das auch, aber eben nicht von einem Zeitschritt zum nächsten (so wie 2^t), und das dürften die meisten intuitiv bei dieser Aussage im Kopf haben.
Verdopplungszeit ln(2)/ln(b) eben (bei f(t)=a*b^t), für alle die sich das selbst ausrechnen möchte.

Jap. Das denke ich auch. Danke für die Aufklärung/den Hinweis. Selbstverständlich hat ein konkretes exponentielles Wachstum genau eine konstante Verdoppelungszeit, aber nicht jedes exponentielle Wachstum hat die selbe Verdoppelungszeit. Ich (und ggf. auch #keko) bin (sind) halt eben davon ausgegangen, dass wir von der 1 Woche reden und sahen deshalb die Verdoppelung in einer Woche als Spezialfall. :Blumen:

Du möchtest quasi eine sich dynamisch ändernde Basis ( R (t) ) miteinbeziehen.

Im Sinne :

f(t) = a(t)^k*t

In diesem Fall hätte man natürlich auch keine konstante Verdopplungszeit mehr.

Womöglich liegt hierin das Mißverständnis.
Wenn die das Wachstum beschreibende Exponentialfunktion "ständig nachjustiert" wird, verändert sich logischerweise auch ständig die Verdopplungszeit.

Hafu hat von Anfang an erklärt, daß wir es hier mit einer längeren Angelegenheit zu tun haben und Ausdauer gefragt ist ... :Holzhammer:

Das dürfte aber die Realität der Pandemie sein, so dass wir zwar abschnittsweise exponentielles Wachstum mit konstanten Verdopplungszeiten finden. Allerdings werden wir wohl auch unterschiedliche Verdoppelungszeiten in unterschiedlichen Abschnitten des exponentiellen Wachstums der Pandemie finden. Oder? :Blumen:

Ja, so ist es.

Noch eine Frage, wenn wir schon Experten hier haben.

Gilt also:
Exponentielles Wachstum => konstante Verdopplungszeit ?

Diese Behauptung wurde vorhin als falsch abgetan und von Frau Professorin wurde die Ablehnung bestätigt.

Ansonsten kann ich nachher auf Arbeit nicht schlafen... :-)

Ja. Die Frage ist halt, wie große "quasi-konstante" Phasen wir vorfinden, bzw natürlich auch, wie gut die erhobenen Daten erstmal die Realität abbilden.

Im Exponenten befindet sich im Übrigen nicht nur die Zeit "t", sondern auch noch ein Faktor, der angibt, in welchem Zeitraum sich die "Ver-R-fachung" vollzieht.

Reden wir z.B. von R = 1.1, ist zusätzlich gefragt, wann sich die Zahl der Infiizierten ver-1.1-facht.
Ursprünglich wurden die diversen Reproduktionszahlen R darauf bezogen, wieviele weitere Personen ein Infizierter im Schnitt ansteckt.

Plausiblerweise müßte man also den Zeitraum der Kontagiosität ansetzen. ~10 Tage ?

Es ergäbe sich dann ~ R^(t/ 10 Tage)

Eine Verdopplungszeit t2 = 10 Tage * ln(2) / ln(R)

Natürlich Theorie, da es in der Praxis verfälschende Einflüsse von allen Seiten gibt ... ;)

Corona ist kaum zu Modellieren, meiner Meinung nach. Man kann sich nur die Kurve anschauen und dazu beitragen, dass sie nicht durch die Decke geht.

Aber eine geschlossenen analytischen Ausdruck
AnzahlDerInfektionen(t) = ....
gibt es nicht. Dazu ist die Entwicklung zu dynamisch und es gibt vor allen Dingen vermutlich allerhand Störfunktionen, die wir nicht kennen. Daher auch "wir fahren auf Sicht".
Bim Klima ist das ähnlich. Auch dort rechnet man mit numerischen Modellen "wenn...dann...".

Richtig ist: Konstant im Sinne von ändert sich nicht mit der Zeit (d.h. ob ich z.B. gerade in Woche 14 bin oder in Woche 12, spielt keine Rolle für die Verdopplungszeit).

Nicht aber konstant im Sinne von unabhängig vom Wachstumsfaktor. Die Verdopplungszeit von 1.1^t ist eine andere als die von 2^t.

Jetzt ist mal langsam Schluß mit Mathe ("der Pfarrer predigt auch nur einmal" hieß es früher ... :Lachen2:), schließlich ist draußen Pandemie und wir müssen weiter Regelbrecher jagen ... :Huhu:

Danke.

Die Breite Ablehnung der Aussage hatte mich irritiert.

Im Wochenvergleich steigen die Zahlen immer noch, allerdings ist die Wachstumsrate rückläufig ( Siehe Spalten F und G im Curve Reiter https://docs.google.com/spreadsheets...26gVyfHqvcl8s/ ).