Geht das nicht nur bei Volumes, auf denen ein System installiert ist?

Yep, da steht tatsächlich "Sie dürfen nur lesen".
In der kleinen Tabelle darunter steht aber neben meinem Namen Zugriffsrechte "Lesen&schreiben". Und ändern kann ich da auch nichts. Das Schloss rechts unten habe ich auf gemacht.

hast recht, man kann extern nur generell auf Fehler prüfen und reparieren lassen, aber nicht direkt die Zugriffsrechte.

Was steht in dem Fenster unter Format:?

Hast Du die Daten mit dem Mac dort hin kopiert oder war die FP vorher an einem Windows Rechner angeschlossen?

Mac OS extended (Groß-/ Kleinschreibung).

Die Festplatte wurde neu so formatiert und bis jetzt nur für die Backups mittels TimeMachine und als Foto-Aufbewahrung benutzt. Immer nur an meinem Macbook, nie Windows.

OK. Dann ist das Format schon mal i.O.
Eine Ferndiagnose ist bei so was schwierig. Ich würde einen FP Defekt nicht ausschliessen. Könnte aber daran liegen, dass Du die Platte gleichzeitig für die TimeMachine und andere Daten verwendest.
Ich kenne die TM nicht, habe aber gelesen, dass man dafür die eine separate Festplatte benutzen und keine andere Daten dahin kopieren soll. Ich würde zumindest auf der Festplatte eine separate Partition einrichten damit die TM und die Fotos getrennt sind. Wenn Du die Daten noch hast, würde ich die Externe FP platt machen neu partitionieren (2 Partitionen) und die Daten wieder hin kopieren.

Unabhängig davon habe ich ein Verständnis Problem.
Wenn ich Dich richtig verstanden habe, hast Du den Standardpfad für die Fotos von dem Macbook auf die Externe FP ausgelagert. Nur wie werden deine Fotos jetzt gesichert? Von der TimeMachine? Wenn ja, dann sind jetzt sowohl die Originalfotos als auch der Backup auf der selben Festplatte. Mit so einer Konstellation riskierst Du einen totalen Datenverlust falls die FP abrauchen sollte.
Hast Du die Fotos dagegen auf dem MacBook dann werden die doch so wie so schon von der TimeMachine gesichert. Warum dann noch mal eine Kopie und das noch auf der selben Festplatte wie der Backup? Habe ich da was falsch verstanden?

Gruß
Robert

Kann zum Problem hier leider nichts sagen, aber TimeMachine+andere Daten auf der externen FP sind kein Problem.

Haben 2 Backups von 2 Macs drauf und noch sämtliche Filme.

Ein bisschen OT, aber bitte die ganzen Daten immer noch an einem weiteren Ort speichern.